domingo, 23 de octubre de 2011

Derivadas funciones; Trigonometricas directas


FORMULARIO OFICIAL DE CALCULO DIFERENCIAL



Ejemplo "Regla de los 4 Pasos"

Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. Empecemos con la primera ecuación que será lineal.
Ejemplo 1:  Y = x3 + 2x2 – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1
∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)
∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

Regla de los 4 Pasos

La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente:

1. Dar incrementos a “x” y a “y”
2. Restar la función Original
3. Dividir entre ∆x.
4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y


Derivación

El incremento de una variable que pasa de un valor númerico al otro es la difrerencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incrememento de "x" se representa por el símbolo x es evidente que el incremento puede ser + o - según la variable aumente o disminuya al cambiar de valor
Asi mismo siempre sera un incremento de la variable que se trate
Consideremos que la función y=x ² supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos después un incremento x; entonces y tambien tiene un valor inicial, con su incremento correspondiente y

Limites infinitos

Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes.

xf(x)
1001,0x10-4
1.0001,0x10-6
10.0001,0x10-8
100.0001,0x10-10
1.000.0001,0x10-12

Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más  cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.


Ilustración geométrica del límite infinito 

Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito.

Limites trigonométricos

Ejemplos: